Как известно, в метаматематике могут быть доказаны две теоремы Гёделя – теорема о полноте [30,c.70] и теорема о неполноте [30,c.199]. Первая утверждает, что все непротиворечивые теории первого порядка полны, вторая, наоборот, утверждает существование неполных теорий первого порядка. Не является ли эта ситуация противоречивой?

Во-первых, в этих двух теоремах речь идет о двух разных видах полноты. В теореме полноты имеется в виду своего рода семантическая полнота, предполагающая доказуемость в теории всех истинных в теории формул. Истинность формулы в теории – это ее истинность во всех моделях теории. В теореме неполноты, в свою очередь, речь идет о синтаксической неполноте, т.е. о неразрешимости в теории по крайней мере одной замкнутой формулы, независимо от того, является ли эта формула истинной во всех моделях или нет. Различие этих двух видов полноты-неполноты проявляется в возможности существования одновременно семантически полной и синтаксически неполной теории, если только неразрешимые замкнутые формулы этой теории не будут истинными во всех моделях этой теории. В этом случае противоречия, подобного противоречию Рассела, в наивной теории арифметики, как будто, не возникает. Поскольку построение L-противоречивой теории предполагает наличие противоречия в рамках того или иного наивного подхода, то для теории арифметики и математической логики возникает потребность, как это ни покажется странным, предварительного выражения наивных противоречий в этих областях, только на основе которых впоследствии можно будет пытаться развить теорию L-противоречия. Ниже мы приводим размышление о возможности введения таких наивных противоречий в математической логике.

Пусть Т – непротиворечивое, рекурсивно-аксиоматизируемое расширение теории формальной арифметики N.

В этом случае в теории Т, согласно теореме Геделя о неполноте, возникает недоказуемое геделево предложение G⁰, утверждающее свою недоказуемость в Т. Обозначим теорию Т через Т⁰. Расширим далее теорию Т⁰ добавлением к ее аксиомам предложения G⁰. Полученную новую теорию обозначим как Т¹. Т¹ – также рекурсивно аксиоматизируемое расширение N. Положим, что Т¹ непротиворечива. Тогда для Т¹ также может быть построено, согласно теореме Геделя о неполноте, предложение G¹, недоказуемое в Т¹ и утверждающее свою недоказуемость в теории Т¹. Так продолжая и далее, мы можем построить бесконечную последовательность теорий Т⁰, Т¹, Т², … и недоказуемых в них геделевых предложений G⁰, G¹, G²,…, где теория Т^k+1 получена из теории Т^k добавлением к аксиомам Т^k предложения G^k  как новой аксиомы. Рассмотрим теорию Т’, полученную как объединение множеств всех теорем теорий Т^k. Будем называть теоремы теории Т’, не являющимися теоремами теории Т⁰, теоремами в нефинитном смысле (метатеоремами). Теоремы теории Т⁰ – теоремами в финитном смысле.

Подобно тому как в теории множеств существует наивный подход, приводящий к противоречиям и позволяющий затем использовать эти противоречия для развития идей L-противоречия в теории множеств, подобно этому можно говорить о возможности существования своего рода наивного подохода в математической логике или теории моделей. Наивный подход в математической логике может рассматриваться как выражение позиции отождествление понятий теорема в финитном и нефинитном смысле. В самом деле, в рамках логики естественного языка парадокс лжеца оказывается органично вырастающим изнутри логики самого языка, что придает этому парадоксу оттенок теоремы. Аналогично, можно предполагать, что геделево предложение также оказалось бы теоремой теории Т, если бы это не вело к противоречию. Отказ признать это предложение в качестве теоремы обеспечивает непротиворечивость теории. Но это уже выражение некоторой «постнаивной» методологии, преодолевающей противоречия наивного подхода. Тогда этот наивный подход также оказывается противоречивым, допуская геделево предложение в качестве теоремы. С этой точки зрения в рамках наивного подхода геделево предложение должно быть включено в состав теорем теории. Однако такое понимание теоремы является более широким, чем понимание теорем в финитном смысле. Эта идея и выражается нами в утверждении связи наивного подхода в математической логике и позиции неразличения финитного и нефинитного смысла теорем теории. Теорему Геделя о полноте также можно трактовать в этом случае в нефинитном смысле – как распространение теоремы полноты в том числе и на метатеоремы. В рамках классической теории моделей идеи наивного подхода наиболее близко реализуются в методологии рассмотрения теории элементарной арифметики в рамках фиксированной стандартной модели (но в этом случае нет противоречивости, что отличает такое представление наивного подхода в математической логике от противоречивого наивного подхода в теории множеств. Это приводит к необходимости введения дополнительных средств и условий, позволяющих сначала выразить наивный подход в математической логике противоречиво, а затем уже воспроизвести идею L-противоречия). 

С этой точки зрения теорию Т можно рассмотреть двояко: отождествляя Т с теорией Т’ и не проводя такого отождествления. Если Т исследуется и описывается в первом смысле, т.е. Т отождествляется с теорией Т’, то здесь тем самым предположено «слабое» свойство «быть теоремой в нефинитном смысле» Thm_T^I, выполненное для большего множества формул. Если же теорию Т, ее теоремы, описывать без привлечения понятия «метатеоремы», то в данном случае используется более «сильное» свойство «быть теоремой в финитном смысле» Thm_T^F, выполненное для более узкого множества формул. Гёделево предложение обладает первым свойством, но не обладает вторым. Наша позиция заключается в том, что теории Т, являющиеся рекурсивно аксиоматизируемым и непротиворечивым (в рамках разведения финитных и нефинитных методов) расширением теории элементарной арифметики N, являются противоречивыми (в рамках отождествления понятия «теорема» в финитном и нефинитном смысле) теориями. С этой точки зрения ситуация оказывается вполне аналогичной ситуации в наивной теории множеств. Однако, как и в случае с теорией множеств, противоречия в метаматематике можно пытаться разделить на два класса противоречий – противоречия-ошибки и так называемые «L-противоречия». Гёделево предложение играет в теории элементарной арифметики ту же роль, что и множество Рассела в теории множеств. Аналогично тому, как множество Рассела не может быть множеством в рамках наивного подхода, так и гёделево предложение, утверждающее свою недоказуемость, не может быть теоремой, если «наивно» отождествлять понятия «теорема» в рамках финитного и нефинитного определений. Так же, как при построении аксиоматического подхода в теории множеств в той или иной мере приходится прибегать к технологии «выделения», так же и в рамках теории элементарной арифметики приходится отдельно выделять множество теорем в финитном смысле, включая его в более обширное множество теорем в нефинитном смысле – аналогов «классов» в теории множеств. В обоих случаях строится «диагональный объект» (множество Рассела или гёделево предложение) по отношению к некоторому выделенному множеству. Причем, добавление этого объекта к выделенному множеству вновь приводит к возможности провести диагонализацию на более высоком уровне. Возникает бесконечная иерархия. Любое объединение вновь построенных элементов из этой иерархии вновь приводит к возможности диагонализации этого объединения. Остановить этот regressus ad infinitum можно только на основе рассмотрения не объединений, но предельных последовательностей элементов иерархии. Эта техника более подробно продемонстрирована нами в Приложении 6, подобная же техника может быть проведена, по нашему мнению, и для теорий, подпадающих под действие теоремы Гёделя о неполноте. Центральную роль здесь играет понятие «n-рекурсивности», позволяющее воспроизвести логику доказательства теоремы о неполноте на любом уровне счетной бесконечной иерархии множеств «n-теорем» (подробнее см. 36). Однако, в этом случае, к сожалению, нельзя использовать технику построения предела последовательности формул на основании предела последовательности термов. Здесь необходимо прямо определить понятие предельной формулы, исходя из свойств только формул последовательности. Указанную трудность можно пытаться обойти расширением средств построения формул языка первого порядка на случай бесконечных дизъюнкций и конъюнкций. Понятие «предельной формулы» мы в этом случае можем ввести по аналогии с предельным множеством. Остановка диагонализации достигается в случае гёделева предложения построением предельной последовательности гёделевых предложений n-го уровня и рассмотрением этой последовательности как самостоятельного объекта некоторой специальной теории, подобной теории S* в случае теории множеств (см. Приложение 6). В этом случае вторая теорема Гёделя теряет тот «роковой смысл», которой ей обычно приписывается. Объекты типа гёделева предложения, фигурирующие в парадоксе лжеца, могут быть представлены как L-противоречия. Возможна логическая техника работы с такого рода конструкциями, возможна специальная логика L-противоречий. Как это происходило уже не раз в истории рационализма, вслед за его отрицанием при столкновении с новой областью, рано или поздно происходит лишь расширение границ представлений о рациональности и логичности. Более подробное рассмотрение этих проблем читатель может найти в работе [36] автора (хотелось бы отметить, что в этой работе мы пытались ввести метатеоремы на основании понятия «метамодели». В общем случае такой способ не является обязательным. В конечном итоге возможно прямое определение метатеорем так, как это было сделано выше. На развитие техники n-рекурсивности в (36) это не влияет).