§ 3. Теория антиномии и L-противоречивость | Библиотека и фонотека Воздушного Замка – читать или скачать

Роза Мира и новое религиозное сознание

Поиск по всем сайтам портала

Библиотека и фонотека

Воздушного Замка

§ 3. Теория антиномии и L-противоречивость

В истории логики всегда существовали две традиции, по-разному оценивающие критерии логической рациональности и их отношение к формально-логическим законам тождества, противоречия и исключенного третьего. Одна из этих традиций, ведущая свое начало от Парменида и Аристотеля, отождествляла рациональное и формально-логическое, и потому могла бы называться «формальной» традицией трактовки логического (это своего рода «линия Парменида» в логике). Другая традиция берет начало из философии Гераклита и связывает свое понимание логического с «диалектикой», т.е. таким образом рацинального, который выходит за рамки только формально-логических законов, и в первую очередь – закона противоречия («линия Гераклита» в логике). Именно к линии Гераклита следует отнести философские системы русской философии всеединства, в связи с чем логика всеединства оказывается тесно связанной с диалектической традицией в логике. Сильной стороной формальной школы всегда были строгость и обоснованность логических построений, выразившиеся в последнее время в создании математической логики. Слабость этого подхода, по мнению его противников, заключается в невозможности выразить формально-логическими средствами процессы развития и системности живого мышления. Внимание именно к этому более динамичному и целостному образу логического является несомненной заслугой диалектической традиции, получившей свое выражение в античной диалектике Гераклита и Платона, docta ignorantia Николая Кузанского, диалектической логике Гегеля, логике всеединства. Тем не менее, столь же несомненной слабостью «линии Гераклита» является недостаточная ясность и обоснованность ее положений. Непримиримость формальной и диалектической традиций в логике наиболее ярко проявляет себя в их прямо противоположном отношении к закону противоречия формальной логики (который, правда, означает прямо противоположное своему названию – запрет на противоречие «А и не-А» в логических построениях). Если формальная школа рассматривает закон противоречия как один из основных законов логики, то диалектики, наоборот, полностью отрицают этот закон.

Выражением методологии дополнительности в решении проблемы «формального-диалектического» в логике должно быть указание критерия логической демаркации между диалектическими противоречиями и противоречиями-ошибками. Следует признать совершенно обоснованными обвинения со стороны представителей формального направления в логике в адрес диалектиков, вменяющие в вину последним полный отказ от закона противоречия и отождествление диалектики с логическим произволом. До тех пор, пока диалектическая традиция в логике не сможет показать, что имеются два класса противоречий – противоречия-ошибки и диалектические противоречия, правила употребления которых могут быть некоторым образом согласованы с законами формальной логики, до тех пор диалектическая традиция не в состоянии указать свое отличие от просто ошибочного логического рассуждения.

В исследовании этой проблемы может оказать существенную помощь, по нашему мнению, развитие метаматематики (теории множеств и математической логики). Дело в том, что в рамках метаматематики, ее средствами, были в последнее время воспроизведены логические конструкции, изоморфные структурам философских антиномий. В первую очередь это относится к известным парадоксам Рассела и лжеца (последний был сымитирован в рамках формальной арифметики немецким математиком и логиком К.Гёделем и получил свое выражение в известной теореме Гёделя о неполноте) – подробнее см. Приложения 6, 7. В силу использования строгого языка математики, анализ антиномий в рамках метаматематики оказывается в этом случае обеспеченным точными средствами математического научного аппарата.

Экспликацию критерия логической демаркации мы предварим неформальным рассмотрением противоречия Рассела в наивной теории множеств.

Теория множеств в рамках наивного подхода имеет дело с такими объектами, как множества. Множество – это совокупность любых сущностей, например, множество столов, множество котов, множество мыслей, множество волос на голове у Наполеона в момент битвы при Ватерлоо, и т.д. Задать множество можно либо прямым перечислением его элементов, если множество конечно, либо указанием общего признака всех элементов множества. Например, множество котов можно задать как множество таких сущностей, что каждая из этих сущностей есть кот. Здесь мы используем свойство (или одноместный предикат, как говорят в математике) «х есть кот», на место х в котором может быть подставлено имя любой сущности. В этом случае множество всех котов образуется как множество таких сущностей, при подстановке имен которых на место х в предикате «х есть кот» мы получаем значение «истина» для этого предиката. Множество либо содержит элементы, либо нет – в последнем случае множество называется пустым множеством. Оно может быть задано любым логически ложным предикатом, например, предикатом «х не равно х». Отношение множества и его элемента – это отношение, обозначаемое в теории множеств как «отношение принадлежности». В рамках наивного подхода в теории множеств считается, что элемент принадлежит множеству тогда и только тогда, когда для элемента верен тот предикат, через которое множество определено (это утверждение носит название «аксиомы свёртывания»). Например, если какой-то элемент принадлежит множеству котов, то для этого элемента верен предикат «х есть кот», и наоборот, если для элемента верен предикат «х есть кот», то этот элемент принадлежит множеству котов. В общем случае можно выделять два вида множеств: 1)множества, не являющиеся своими элементами («правильные» множества). По аксиоме свёртывания это значит, что для самого множества не верен тот предикат, который верен для его элементов. Например, множество котов не является котом, т.е. это правильное множество. 2)множества, являющиеся своими элементами («неправильные» множества). Для этих множеств верен тот предикат, который верен для элементов множества. Это, например, множество всех множеств – оно само множество, и его элементы – тоже множества.

Рассмотрим теперь множество Рассела R как множество всех правильных множеств (т.е. элементы R задаются предикатом “х не принадлежит х”). Зададим вопрос, каково само это множество – правильное или неправильное? Заметим, что любое множество может быть либо правильным, либо неправильным, третьего не дано. Следовательно, и множество Рассела – либо правильное, либо нет. Предположим, что множество Рассела – это правильное множество, т.е. оно не является своим элементом. Тогда, по аксиоме свёртки, следует, что для множества Рассела не верен тот предикат, который верен для элементов множества Рассела, т.е. неверно, что «R не принадлежит R», т.е. множество Рассела принадлежит себе = является неправильным множеством. Пусть теперь множество Рассела – неправильное множество, т.е. оно принадлежит себе. Тогда, по аксиоме свёртки, следует, что для этого множества верен предикат «х не принадлежит х», т.е. множество Рассела не принадлежит себе = является правильным множеством. Таким образом, для множества Рассела мы получаем равносильность «Множество Рассела является правильным множеством тогда и только тогда, когда оно не является правильным множеством». Отсюда, в частности, выводима конъюнкция «Множество Рассела является правильным множеством и множество Рассела не является правильным множеством» (т.к. предикат «х есть неправильное множество» равносилен предикату «неверно, что х есть правильное множество»). Указанная конъюнкция является противоречием, т.е. условия рассмотрения теории множеств в рамках принятия аксиомы свёртки приводят к противоречию и носят название «наивного подхода» в теории множеств. Чтобы избежать противоречия, аксиому свёртки в современной математике заменяют тем или иным способом на разного рода техники выделения, приводящие к элиминации из теории множеств объектов типа множества Рассела (такие множества получили название «собственных классов»). Таким образом, в метаматематике получает свою реализацию формально-логический подход, исключающий при построении логики любые противоречия.

Заметим, что множество Рассела при некоторых дополнительных соглашениях вполне выражает конструкцию многих антиномичных объектов в диалектической традиции философии. Пусть в рамках наивного подхода рассматривается дополнительная «аксиома правильности», которая ограничивает множества только понятием правильного множества (эта аксиома утверждает, что для любого х верно «х не принадлежит х», где х – переменная, пробегающая множества). В этом случае множество Рассела как множество всех правильных множеств оказывается универсальным множеством, т.е. множеством всех множеств. Через такое множество можно интерпретировать такие «тотальные» объекты философских онтологий, как «Мир», «Пространство», «Время», «Сознание». Например, если интерпретировать множество Рассела как Мир (пространственно-временную тотальность), то утверждение «х принадлежит R» можно трактовать как принадлежность Миру, как бытие; а утверждение «х не принадлежит R» – как непринадлежность Миру, как небытие. В этом случае вопрос о принадлежности-непринадлежности R себе может быть представлен как вопрос о бытии-небытии Мира. Противоречие Рассела интерпретируется в этом случае как философская антиномия “Мир обладает бытием и Мир не обладает бытием”. Если обладание бытием рассматривать как ограниченность (т.е. предикат “х принадлежит R ”, или “х является элементом R”, трактуется в этом случае как предикат “х ограничен в пространстве и времени”), то мы получаем интерпретацию противоречия Рассела как “Мир ограничен в пространстве и времени и Мир не ограничен в пространстве и времени” – первую антиномию Канта из “Критики чистого разума”. В рамках проведенной интерпретации техника элиминации собственных классов в метаматематике вполне коррелирует с элиминацией метафизики (как диалектической логики) из сферы теоретического разума (научного познания).

С этой точки зрения мы можем опираться на методологию сооответствия метаматематических и философских антиномий в решении проблемы критерия логической демаркации. Более конкретно это означает, что мы можем использовать более строгое решение проблемы демаркации в метаматематике как логическую интерпретацию решения соответствующей проблемы в диалектической логике.

Используя методологию соответствия, мы будем теперь работать с противоречием Рассела, пытаясь исследовать структуру этого противоречия как некоторого типа противоречия, отличного от противоречия-ошибки.

Специфичность противоречия Рассела несомненно связана со специфичностью множества Рассела, фигурирующего в этом противоречии. Приглядимся более пристально к структуре этого множества.

Множество Рассела R задается предикатом “х не принадлежит х”. Этот предикат обладает одной характерной особенностью – он определен (хотя не обязательно верен) на всех множествах, к числу которых относится и само множество Рассела. Такого рода предикаты называются обычно самореферентными. Самореферентность предиката “х не принадлежит х” приводит к тому, что множество Рассела оказывается включенным в область определения этого предиката, т.е. в множество всех множеств. С другой стороны, предполагая, что любое множество – это либо правильное, либо неправильное множество, для множества Рассела мы получаем отрицание этих двух возможностей, т.е. требование непринадлежности множества Рассела к множеству всех множеств. Таким образом, множество Рассела определяется при своем построении двумя основными отношениями – с одной стороны, множество Рассела как одно из множеств принадлежит множеству всех множеств, с другой стороны, правила его построения таковы, что оно выталкивается из любого универсума множеств, на котором будет определяться его предикат. Если бы областью определения множества R было какое-то ограниченное множество Х, вне которого могли бы существовать другие множества, то противоречие Рассела было бы решено тем допущением, что множество R не принадлежало бы множеству Х. В этом случае мы должны заменить предикат “х не принадлежит х” на предикат “х не принадлежит х и х принадлежит Х”, определяя этим предикатом некоторое множество RХ. При этих условиях, предположение, что RХ принадлежит Х приводит к противоречию, откуда, по правилу reductio ad absurdum мы делаем вывод о непринадлежности множества RХ множеству Х – и при этом допущении противоречие исчезает. Но как только множество Х становится множеством всех множеств, т.е. тем множеством, вне которого не существует иных множеств, и множество RХ превращается в множество R, то противоречия таким способом избежать не удается.

Итак, можно сделать тот вывод, что множество Рассела, с одной стороны, принадлежит множеству всех множеств, а, с другой стороны, выталкивается из него. Именно потому, что вытолкнуться уже некуда, противоречие и возникает. Как только множество R ограничивается до множества RХ и начинает определяться и выталкиваться относительно ограниченного множества Х, противоречие исчезает. Множество Рассела – это особый тип объекта-расширителя. Определение его на множестве Х приводит к построению объекта, выходящего за рамки Х. И пока Х локально и за его рамки можно выйти, применение к нему предиката множества R не приводит к противоречиям. Но как только в качестве Х начинает выступать объект, за рамки которого выйти невозможно, множество R становится противоречивым – оно выходит за рамки того, за рамки чего выйти уже невозможно. Это и есть сущность противоречия Рассела.

Итак, мы видим здесь ментальную конструкцию объекта, который: 1)предполагает выделение двух планов, один из которых включается в другой (в случае парадокса Рассела это множество Х и более обширное множество, включающее в себя как множество Х, так и множество Рассела. Первый план включается во второй), 2)определяет себя выделением, выталкиванием из меньшего плана и полаганием себя в большем плане, 3)одновременно содержит детерминант объема первого плана, способный расширять этот план до второго, захватывая в себя рассматриваемый объект (рис.44).

                        

Узловое место здесь – детерминант объема первого плана. Его можно зафиксировать, обеспечив нераспространимость первого плана на второй, но в общем случае он неопределенен и предполагает возможность универсального расширения первого плана. Первый план будем называть объектным, второй – метапланом.

Подобная конструкция присуща всем парадоксам с самореферентностю. Ментальные объекты, предполагаемые такими парадоксами, система обеспечения которых только что была описана, назовем L-объектами (предельными (limit) объектами).

L-объекты задаются двумя взаимоисключающими факторами (условиями): определением себя вне объектного плана и условием расширения объектного плана на метаплан.

Таким образом, при задании множества Рассела как некоторой ментальной конструкции действуют два основных принципа: 1)принцип включения множества R в область определения его предиката, что достигается за счет тотализации этой области определения, 2)принцип исключения множества R из области определения его предиката, что достигается характером этого предиката как именно предиката непринадлежности себе.

Техники выделения, использующиеся в современной метаматематике, оставляют второй принцип и отказываются от первого, ограничивая область определения множества и отличая его от самого множества. В этом случае множество Рассела не может возникнуть, в связи с чем такого рода объекты просто элиминируются из аксиоматических теорий множеств.

Здесь, однако, можно пойти и по несколько иному пути. Предположим, что, образуя множество Рассела, мы имеем дело с некоторым первоначальным универсумом множеств U0. В этом случае мы могли бы образовать множество R1 на основе предиката “х не принадлежит х и х принадлежит U0” (что можно сокращать как предикат “х есть 0-правильное множество”). Множество R1 как бы имитирует множество Рассела в рамках универсума множеств U0. Чтобы избежать противоречия, нам придется предположить, что множество R1 не принадлежит универсуму U0, хотя оно и является его подмножеством. Тем самым мы предполагаем, что за рамки универсума U0 можно выйти. Определим далее универсум множеств U1 как такой класс множеств, который содержит в себе в качестве элементов все множества и подмножества универсума U0. В частности, множество R1 принадлежит универсуму U1. Образуем далее множество R2 на основе предиката “х не принадлежит х и х принадлежит U1” (т.е. “х есть 1-правильное множество”). Можно показать, что, хотя множество R1 – не 0-правильное множество, но оно является 1-правильным множеством, т.е. R1 принадлежит R2 (одновременно, по определению, являясь его подмножеством). В самом деле, если предположить, что это не так, т.е. для R1 не верен предикат “х не принадлежит х и х принадлежит U1”, то, т.к. R1 принадлежит U1, остается предположить, что R1 принадлежит себе, т.е. для R1 верен предикат “х не принадлежит х и х принадлежит U0”, что неверно уже хотя бы потому, что, по предположению, R1  принадлежит себе. Полученное противоречие доказывает 1-правильность множества R1.

Продолжая так и далее, мы можем на основе уже построенного универсума множеств Un строить универсум множеств Un+1 как класс всех элементов и подмножеств универсума Un. Для универсума Un определено множество Rn+1 предикатом “х не принадлежит х и х принадлежит Un” (т.е. “х есть n–правильное множество”). В результате образуется бесконечная последовательность универсумов множеств Un и, в частности, множеств Rn (здесь мы используем «выталкивающую» силу множества Рассела для построения бесконечной цепочки универсумов). Аналогично тому, как это было сделано выше, можно в общем случае показать, что Rn не принадлежит себе, и Rn принадлежит Rn+1 для любого n=1,2,3,.... Иными словами, для любого n можно доказать утверждение «n-множество Рассела не принадлежит n-множеству Рассела и n-множество Рассела принадлежит (n+1)-множеству Рассела», если множество Rn называть термином «n-множество Рассела».

Пока описанная нами техника не содержала ничего принципиально нового и могла бы рассматриваться как некоторый частный случай все той же методологии выделения, который используется в современной метаматематике. Мы будем рассматривать бесконечную последовательность множеств Rn как отдельный объект. И в общем случае, будем рассматривать в качестве самостоятельных объектов предельные последовательности множеств, т.е. последовательности множеств, имеющие предел. В теории множеств есть специальное определение для предела бесконечной последовательности множеств. Его нет необходимости приводить здесь (см. напр. [63, С.10]), достаточно лишь отметить, что последовательность множеств, где каждое множество является подмножеством последующего множества, имеет предел, и в качестве этого предела выступает бесконечное объединение указанных множеств. Именно такова последовательность n-множеств Рассела: здесь n-множество Рассела (Rn) является подмножеством (n+1)-множества Рассела (Rn+1) для любого n. Следовательно, у этой последовательности множеств есть предел, который мы будем обозначать как R («∞-множество Рассела»). В этом случае как множество Rn, так и множество Rn+1 одинаково стремятся к одному пределу, множеству R. Это значит, что в пределе оба этих множества совпадают, перестают различаться, т.е. как бы ∞=∞+1. Чтобы использовать эту конструкцию для выражения критерия логической демаркации, рассмотрим не только бесконечные последовательности множеств, но и бесконечные последовательности суждений, в которых используются имена этих множеств. В частности, для рассматриваемого нами случая мы могли бы ввести бесконечную последовательность суждений вида «n-множество Рассела не принадлежит n-множеству Рассела и n-множество Рассела принадлежит (n+1)-множеству Рассела». Такую бесконечную последовательность суждений мы могли бы рассматривать как объект специального вида, выражающий в рамках некоторой специальной теории противоречие Рассела. Для выражения связи этой последовательности суждений с противоречием Рассела, введем понятие предела бесконечной последовательности суждений. Именно, для последовательности суждений «n-множество Рассела не принадлежит n-множеству Рассела и n-множество Рассела принадлежит (n+1)-множеству Рассела» будем рассматривать в качестве предела этой последовательности то же суждение, при условии замены n– и (n+1)-множеств Рассела на их предел – ∞-множество Рассела. В этом случае мы получим такое «предельное суждение»: «∞-множество Рассела не принадлежит ∞-множеству Рассела и ∞-множество Рассела принадлежит ∞-множеству Рассела». По форме это суждение вполне совпадает с противоречием Рассела и может рассматриваться как его выражение в рамках описываемой техники. Однако, следует отметить, что мы не предлагаем работать непосредственно с этим предельным суждением, но с предельной последовательностью соответствующих суждений, каждое из которых является непротиворечивым утверждением. С другой стороны, предельная последовательность суждений не тождественна любому суждению из этой последовательности, в этом случае мы имеем дело с новыми логическими объектами. Возможно построение новой логической техники работы с предельными последовательностями суждений. Например, для этих последовательностей можно определить логические операции, отношения выводимости, семантику (более подробно см. Приложение 5). Новая логическая техника, возникающая в этом случае, может быть выражением, по нашему мнению, методологии дополнительности между формальным и диалектическим подходами в логике. С одной стороны, по отношению к каждому из суждений предельной последовательности применима формальная логика. С другой стороны, по отношению к предельным последовательностям суждений возникает более сложная логическая структура, как это можно было заметить уже на примере разбора противоречия Рассела. Диалектическая логика, если ее в данном случае интерпретировать как логику предельных последовательностей суждений, находится не в отношении отрицания к формальной логике, но в более сложном отношении предельного пополнения формально-логических структур (отдельные суждения также можно представить в форме предельных последовательностей, рассматривая стационарные последовательности суждений, т.е. последовательности, в которых, начиная с некоторого элемента, повторяется одно и то же суждение. Пределом такой последовательности будет это повторяющееся суждение).

Например, в рамках логики предельных последовательностей суждений, могут быть получены предельные формулы как выражающие закон тождества, так и отрицающие его. Для примера рассмотрим суждения «n-множество Рассела равно n-множеству Рассела» и «n-множество Рассела не равно (n+1)-множеству Рассела». Эти последовательности суждений являются предельными последовательностями, и их пределами оказываются два противоположных суждения «∞-множество Рассела равно ∞-множеству Рассела» и «∞-множество Рассела не равно ∞-множеству Рассела». Принимая аксиому правильности и отождествляя множество Рассела с универсальным множеством, мы могли бы рассматривать эти предельные формулы как выражение, например, диалектического противоречия в духе Гегеля «бытие совпадает с собой и отлично от себя». Однако, понимая это противоречие не как формально-логическое противоречие, но как указанные выше предельные суждения, мы могли бы вполне корректно работать с ними как с соответствующими им предельными последовательностями суждений «n-множество Рассела равно n-множеству Рассела» («n-бытие равно n-бытию») и «n-множество Рассела не равно (n+1)-множеству Рассела» («n-бытие не равно (n+1)-бытию»).

Заметим, что для предельной последовательности суждений «n-множество Рассела равно n-множеству Рассела» возможно не одно отрицание. В качестве отрицания этой предельной последовательности можно, с одной стороны, рассмотреть предельную последовательность суждений «n-множество Рассела не равно n-множеству Рассела» (такое отрицание можно называть «сильным» отрицанием), с другой стороны, в качестве отрицания можно рассмотреть предельную последовательность суждений «n-множество Рассела не равно (n+1)-множеству Рассела» («слабое» отрицание). Если считать предельную последовательность суждений истинной (ложной) при истинности (ложности) каждого суждения в этой последовательности (возможно, начиная с некоторого, не обязательно первого, суждения в этой последовательности), то конъюнкция истинной предельной последовательности с ее сильным отрицанием даст ложную предельную последовательность, что совсем не обязательно для конъюнкции со слабым отрицанием (под конъюнкцией двух предельных последовательностей суждений мы понимаем предельную последовательность конъюнкций суждений). Слабым отрицанием истинной предельной последовательности может быть также истинная предельная последовательность, что как раз выполнено для суждений о n-множествах Рассела. В этом случае диалектические противоречия имеют форму конъюнкции двух истинных предельных последовательностей суждений, одна из которых является слабым отрицанием другой. Возможность представить противоречие в такой форме и есть критерий логической демаркации.

С точки зрения описанной выше логики предельных последовательностей суждений диалектические противоречия можно рассмотреть как сходные с формально-логическими противоречиями чисто внешне, без принятия во внимание предельной природы диалектических противоречий, без различения конструкций сильного и слабого отрицаний, и т.д. Каждый случай претензии некоторого противоречия на роль диалектического противоречия должен специально анализироваться с точки зрения возможности выражения его средствами логики предельных последовательностей суждений. Вполне возможно, что некоторые противоречия, выдаваемые авторами за диалектические, есть уже результат неразличения ими диалектических и формально-логических противоречий. С другой стороны, вполне возможно, что многие философы-диалектики могли интуитивно чувствовать критерий логической демаркации, интуитивно верно выстраивая системы диалектической логики на основе именно диалектических противоречий. С этой точки зрения одинаково неприемлемы как позиция апологетов формального подхода, требующих огульно отрицать любые примеры диалектического дискурса, так и позиция апологетов диалектического подхода, столь же огульно настаивающих на полном некритическом принятии по-видимости диалектических рассуждений.

Для того чтобы диалектическое противоречие, например, предельная последовательность суждений «n-множество Рассела не принадлежит n-множеству Рассела и n-множество Рассела принадлежит (n+1)-множеству Рассела», потеряло внутри себя все дифференциации, отличающие его от формально-логического противоречия, необходимы две редукции: 1)переход от предельной последовательности суждений к предельному суждению – в нашем примере к суждению «∞-множество Рассела не принадлежит ∞-множеству Рассела и ∞-множество Рассела принадлежит ∞-множеству Рассела», 2)потеря связи с предельной последовательностью за счет неразличения рангов понятий, используемых в предельном суждении, – в нашем примере «∞-множество Рассела» заменяется на просто «множество Рассела», в результате чего и возникает видимость обычного формально-логического противоречия «множество Рассела не принадлежит множеству Рассела и множество Рассела принадлежит множеству Рассела». Применение критерия логической демаркации – это попытка обернуть для противоречия, представленного как формально-логическое противоречие, эти редукции вспять и 1)перейти от формально-логического противоречия к бесконечно-ранговому противоречию (например, «∞-множество Рассела не принадлежит ∞-множеству Рассела и ∞-множество Рассела принадлежит ∞-множеству Рассела»), 2)восстановить за этим противоречием как предельным суждением предельную последовательность конечно-ранговых суждений («n-множество Рассела не принадлежит n-множеству Рассела и n-множество Рассела принадлежит (n+1)-множеству Рассела»). Видно, что повторяющимся элементом предельной последовательности суждений является в этом случае конъюнкция двух суждений, в которых используется некоторый предикат. Например, в нашем примере это предикат «х не принадлежит у». Конъюнкция двух суждений – это конъюнкция предиката и его отрицания, например, «х не принадлежит у» и «х принадлежит y», в которых вначале переменные заполняются понятиями рангов n и n+1 таким образом, что  после взятия затем конъюнкции противоречия не возникает (например, “n-множество Рассела не принадлежит n-множеству Рассела и n-множество Рассела принадлежит (n+1)-множеству Рассела”). Таким образом, противоречие избегается в данном случае за счет различения рангов понятий, выделения понятия n-го и (n+1)-го рангов. Одно понятие (например, “множество Рассела”) разделяется на два ранговых понятия (“n-множество Рассела” и “(n+1)-множество Рассела”). Эти следующие друг за другом два ранговых понятия можно также называть ментальной диадой.

Использование критерия логической демаркации может быть теперь представлено в форме следующего алгоритма действий: 1)в противоречии, имеющем формально-логическую форму, выделяется центральный предикат, утверждением и отрицанием которого образуется противоречие, и центральное понятие, играющее роль субъекта предикации (в нашем примере противоречия “множество Рассела не принадлежит множеству Рассела и множество Рассела принадлежит множеству Рассела” центральный предикат – это “х не принадлежит у”, а центральное понятие – это “множество Рассела”), 2)центральное понятие представляется как ментальная диада двух ранговых понятий (“n-множество Рассела» и «(n+1)-множество Рассела”), 3)на место переменных в центральном предикате осуществляется подстановка ранговых понятий из ментальной диады таким образом, чтобы после подстановки и следующей за тем конъюнкции не возникало формально-логического противоречия (“n-множество Рассела не принадлежит n-множеству Рассела и n-множество Рассела принадлежит (n+1)-множеству Рассела”), 4)полученная ранговая конъюнкция должна обладать свойством самореферентности, т.е. должна воспроизводиться для любых конечных рангов, 5)для последовательности ранговых понятий должен существовать предел.

Противоречия, которые удается на основе описанной техники представить как предельные последовательности суждений, мы выше обозначали как «L-противоречия» (от limit – предел). Заметим, что по отношению к множеству R как множеству R1 на новом уровне вновь могла бы быть воспроизведена бесконечная последовательность множеств Рассела все более высоких рангов, и так это могло бы продолжаться без конца. Чтобы предотвратить эти трансценденции уже на первой бесконечности, мы переходим от рассмотрения отдельных множеств к рассмотрению их предельных последовательностей (таким образом, сдвиг в предельной последовательности не выводит за ее пределы, т.е. предел Rn равен пределу Rn+1, на основе чего впервые и можно выразить эффект «слипания» элементов конъюнкции «n-множество Рассела не принадлежит n-множеству Рассела» и «n-множество Рассела принадлежит (n+1)-множеству Рассела» в предельной последовательности суждений, выражающих L-противоречие).

Таким образом, общая идея выражения L-противоречий состоит в том, что они представляются предельными последовательностями непротиворечивых утверждений, предел которых, однако, имеет форму противоречия. В этом случае работа с противоречием выражается в работе с предельными последовательностями, представляющими эти противоречия. В этом техника построения теории L-противоречия вполне напоминает технику построения континуума в математическом анализе и может быть рассмотрена как выражение идеи своего рода «логических пределов». Подобно тому как в свое время пифагорейцы были шокированы открытием нерациональности числа Ö2, подобно этому в нашем разуме существуют, по-видимому, логические конструкции, выражающие предельные для рациональной способности разума состояния и постоянно повергающие его чисто рассудочную составляющую в состояние «закономерного противоречия». Такие конструкции являются логической формой предельных для разума образований и могут быть закономерно включены в сферу его рефлексии. Подобного рода процедура «ментального пополнения» разума его пределами вполне аналогична процедуре пополнения рациональных чисел иррациональными. Наша основная идея состоит в том, что возможна логическая техника выделения таких «L-противоречий» (критерий логической демаркации) и корректной работы с ними, в какой-то мере напоминающая технику математического анализа. С этой точки зрения парадоксы типа парадокса Рассела оказываются выражением своего рода «ментальных пределов» нашей рациональности и принципиально отличаются от противоречий-ошибок.

Как уже не раз отмечалось выше, русская философия всеединства пыталась, опираясь конечно же на традиции мировой философии, увидеть разрешение проблемы синтеза принципов противоречия и непротиворечия в разработке некоторого варианта логики всеединства, в рамках которого принцип противоречия мог бы получить свое представительство в  знании в форме некоторых гносеологических пределов. Эти пределы могли бы быть добавлены к непротиворечивым формам знания, подобно тому, как в свое время были пополнены иррациональными числами рациональные числа. В этом смысле методология русской философии всеединства вполне напоминает методологию построения континуума в математике. Согласие принципов непротиворечия и противоречия ищется в построении теории антиномии как теории некоторого бесконечного предела, некоторой разновидности «предельного противоречия», которыми могут быть пополнены непротиворечивые фрагменты знания. В этом случае принцип противоречия может быть неразрушительно соединен с принципом непротиворечия, подобно тому как предельные точки могут быть добавлены к внутренним точкам в топологии. Именно переинтерпретация идеи противоречия через идею предела играет решающую роль в подобном согласовании принципов противоречия и непротиворечия. В этом одна из несомненных заслуг философской логики русской философии всеединства.

Тем не менее, русская философия всеединства, выдвинув идею предельных противоречий, которые мы обозначаем как «L-противоречия», не смогла решить эту проблему более, чем концептуально, попытавшись придать ей (в лице Флоренского) некоторую логическую форму. Сегодня в решении этой проблемы, как мы пытались показать, может придти на помощь развитие современной математики, и особенно такого ее направления, как метаматематика.